Interrogations orales 2016/2017


Vous trouverez ici tous les exercices de colle que j'ai donnés en classe de PCSI depuis le début de l'année.
Nom de l'élève : CHAUMAT
Exercice(s) : Une urne contient $n$ boules blanches et $m$ boules noires. On vide l'urne par tirages successifs sans remise, et l'on désigne par $X$ le rang de la dernière boule blanche obtenue.
  1. Montrer que pour tout $i,j\in\N$, \[ \sum_{k=i}^{i+j} \binom{k}{i} = \binom{i+j+1}{i+1}\]
  2. Déterminer la loi de $X$ puis son espérance.
  3. Calculer l'espérance de $(X+1)X$ puis en déduire la variance de $X$.


Nom de l'élève : GORI
Exercice(s) : Les vaches laitières sont atteintes par une maladie $M$ avec la probabilité $p=0,15$. Pour dépister la maladie $M$ dans une étable de $n$ vaches, on fait procéder à une analyse de lait. Deux méthodes sont possibles :
  1. Première méthode : On fait une analyse sur un échantillon de lait de chaque vache.
  2. Deuxième méthode : On effectue d'abord une analyse sur un échantillon de lait provenant du mélange des n vaches. Si le résultat est positif, on effectue une nouvelle analyse, cette fois pour chaque vache.
On voudrait connaître la méthode la plus économique (celle qui nécessite en moyenne le moins d'analyse). Pour cela, on note $X_n$ la variable aléatoire du nombre d'analyses réalisées dans la deuxième étape. On pose $Y_n = X_n/n$.
  1. Déterminer la loi de $Y_n$ puis montrer que \[ E(Y_n) = 1+\frac{1}{n} - (0.85)^n.\]
  2. On pose $a = \ln(0.85)$. Montrer que $an-ln(n) >0$ si et seulement si $E(Y_n) <1$.
  3. Déterminer la meilleure méthode.


Nom de l'élève : RICORDEAU
Exercice(s) : Une urne contient $N$ boules numérotées de $1$ à $N$. On en tire $n$ en effectuant des tirages avec remise. On note $X$ et $Y$ le plus petit et le plus grand des nombres obtenus. Déterminer la loi de $X$ et la loi de $Y$.

Nom de l'élève : BLANCO
Exercice(s) : On dispose de 100 dés dont 25 sont pipés. Pour chaque dé pipé, la probabilité d’obtenir le chiffre 6 lors d’un lancer vaut $\frac{1}{2}$.
  1. On tire un dé au hasard parmi les 100 dés. On lance ce dé et on obtient le chiffre 6. Quelle est la probabilité que ce dé soit truqué ?
  2. On tire un dé au hasard parmi les 100 dés. On lance ce dé $n$ fois et on obtient $n$ fois le chiffre 6. Quelle est la probabilité, notée $p_n$ que ce dé soit truqué ?
  3. Déterminer la limite de $p_n$ puis interpréter le résultat.


Nom de l'élève : GERVASONI
Exercice(s) : Les vaches laitières sont atteintes par une maladie $M$ avec la probabilité $p=0,15$. Pour dépister la maladie $M$ dans une étable de $n$ vaches, on fait procéder à une analyse de lait. Deux méthodes sont possibles :
  1. Première méthode : On fait une analyse sur un échantillon de lait de chaque vache.
  2. Deuxième méthode : On effectue d'abord une analyse sur un échantillon de lait provenant du mélange des n vaches. Si le résultat est positif, on effectue une nouvelle analyse, cette fois pour chaque vache.
On voudrait connaître la méthode la plus économique (celle qui nécessite en moyenne le moins d'analyse). Pour cela, on note $X_n$ la variable aléatoire du nombre d'analyses réalisées dans la deuxième étape. On pose $Y_n = X_n/n$.
  1. Déterminer la loi de $Y_n$ puis montrer que \[ E(Y_n) = 1+\frac{1}{n} - (0.85)^n.\]
  2. On pose $a = \ln(0.85)$. Montrer que $an-ln(n) >0$ si et seulement si $E(Y_n) <1$.
  3. Déterminer la meilleure méthode.


Nom de l'élève : PASQUET
Exercice(s) : On lance une pièce biaisée qui tombe sur pile avec une probabilité $a\in]0,1[$.
  1. Si elle tombe sur pile, on marque un point ;
  2. si elle tombe sur face, on marque deux points.
Pour tout $n\in\N$, on désigne par $p_n$ la probabilité d'obtenir exactement $n$ points (en au plus $n$ coups). Déterminer $p_n$ en fonction de $n$. On pourra commencer par calculer $p_1$ et $p_2$.

Nom de l'élève : HAUTIER
Exercice(s) : On dispose de 100 dés dont 25 sont pipés. Pour chaque dé pipé, la probabilité d’obtenir le chiffre 6 lors d’un lancer vaut $\frac{1}{2}$.
  1. On tire un dé au hasard parmi les 100 dés. On lance ce dé et on obtient le chiffre 6. Quelle est la probabilité que ce dé soit truqué ?
  2. On tire un dé au hasard parmi les 100 dés. On lance ce dé $n$ fois et on obtient $n$ fois le chiffre 6. Quelle est la probabilité, notée $p_n$ que ce dé soit truqué ?
  3. Déterminer la limite de $p_n$ puis interpréter le résultat.


Nom de l'élève : MAAZOUZ
Exercice(s) : Une urne contient $n$ boules blanches et $m$ boules noires. On vide l'urne par tirages successifs sans remise, et l'on désigne par $X$ le rang de la dernière boule blanche obtenue.
  1. Montrer que pour tout $i,j\in\N$, \[ \sum_{k=i}^{i+j} \binom{k}{i} = \binom{i+j+1}{i+1}\]
  2. Déterminer la loi de $X$ puis son espérance.
  3. Calculer l'espérance de $(X+1)X$ puis en déduire la variance de $X$.


Nom de l'élève : PICARD
Exercice(s) :
  1. On tire 5 cartes simultanément dans un jeu de 32 cartes. Quelle est la probabilité d’avoir exactement 3 coeurs ?
  2. On tire 5 cartes successivement et sans remise dans un jeu de 32 cartes. Quelle est la probabilité d’avoir exactement 3 coeurs ?
  3. On tire 5 cartes successivement et avec remise dans un jeu de 32 cartes. Quelle est la probabilité d’avoir exactement 3 coeurs ?


Nom de l'élève : VERNIZEAU
Exercice(s) : Une urne contient $n$ boules blanches et $m$ boules noires. On vide l'urne par tirages successifs sans remise, et l'on désigne par $X$ le rang de la dernière boule blanche obtenue.
  1. Montrer que pour tout $i,j\in\N$, \[ \sum_{k=i}^{i+j} \binom{k}{i} = \binom{i+j+1}{i+1}\]
  2. Déterminer la loi de $X$ puis son espérance.
  3. Calculer l'espérance de $(X+1)X$ puis en déduire la variance de $X$.


Nom de l'élève : MAILLARD
Exercice(s) : On dispose de 100 dés dont 25 sont pipés. Pour chaque dé pipé, la probabilité d’obtenir le chiffre 6 lors d’un lancer vaut $\frac{1}{2}$.
  1. On tire un dé au hasard parmi les 100 dés. On lance ce dé et on obtient le chiffre 6. Quelle est la probabilité que ce dé soit truqué ?
  2. On tire un dé au hasard parmi les 100 dés. On lance ce dé $n$ fois et on obtient $n$ fois le chiffre 6. Quelle est la probabilité, notée $p_n$ que ce dé soit truqué ?
  3. Déterminer la limite de $p_n$ puis interpréter le résultat.


Nom de l'élève : SOMMET
Exercice(s) : On lance une pièce biaisée qui tombe sur pile avec une probabilité $a\in]0,1[$.
  1. Si elle tombe sur pile, on marque un point ;
  2. si elle tombe sur face, on marque deux points.
Pour tout $n\in\N$, on désigne par $p_n$ la probabilité d'obtenir exactement $n$ points (en au plus $n$ coups). Déterminer $p_n$ en fonction de $n$. On pourra commencer par calculer $p_1$ et $p_2$.

Nom de l'élève : CLOEZ
Exercice(s) : On considère les sous-espaces vectoriels supplémentaires de $\R^3$ suivants : \[ P = \{(x,y,z) \in \R^3 \mid x + 2y - z = 0\}\quad \text{et} \quad D = \text{Vect}(w){\text{~o\`u~}}w = (1,0, - 1) \] On note $\mathscr B = (i,j,k)$ la base canonique de $\R^3$, $p$ la projection vectorielle sur $P$ parallèlement à $D$, $q$ celle sur $D$ parallèlement à $P$, et enfin, $s$ la symétrie vectorielle par rapport à $P$ et parallèlement à $D$.
  1. Former la matrice de $p$ dans $\mathscr B$.
  2. En déduire les matrices, dans $\mathscr B$, de $q$ et de $s$.


Nom de l'élève : PILLIET
Exercice(s) : Soit $n \in \N^*$ et $\Delta \colon \K_{n + 1}[X] \to \K_n[X]$ l'application définie par \[ \Delta(P) = P(X + 1) - P(X) \]
  1. Montrer que $\Delta$ est bien définie et que $\Delta$ est une application linéaire.
  2. Déterminer le noyau de $\Delta$.
  3. En déduire que cette application est surjective.


Nom de l'élève : THEVENIN
Exercice(s) : Soit $E$ un espace vectoriel sur $\K$ de dimension finie et $u$ un endomorphisme de $E$. Montrer que si $u$ est de rang $1$ alors il existe $\alpha\in\K$ tel que $u^2 = \alpha u$. La réciproque est-elle vraie ?

Nom de l'élève : BLANCO
Exercice(s) : Dans $\R^3$, on considère le sous-espace vectoriel \[ H = \{(x,y,z) \in \R^3 \mid x - 2y + 3z = 0\} \] Soient $u = (1,2,1) \text{ et } v = ( - 1,1,1)$.
  1. Montrer que $\mathscr B = (u,v)$ forme une base de $H$.
  2. Déterminer un vecteur $w \in \R^3$ tel que $(u,v,w)$ est une base de $\R^3$.
  3. Déterminer la matrice dans la base $\mathscr B$ de la projection sur $H$ parallèlement à $\text{Vect}(w)$.


Nom de l'élève : GERVASONI
Exercice(s) : Soit $\phi$ définie sur $E = R_2[X]$ par $\phi(P) = (X^2 - X + 1) P' - (2X-1) P +X^2 P(1)$. Déterminer les images de $1$, $X$ et $X^2$ par l'application $\phi$. Justifier que $\phi$ est bien un automorphisme de $E$.

Nom de l'élève : PASQUET
Exercice(s) : On considère $A = \begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ et l'application : \[\begin{array}{rrcl} \varphi : &\mathscr M_2(\R) &\longrightarrow &\mathscr M_2(\R) \\ &M &\mapsto &A M \end{array}\] Montrer que $\varphi$ est une application linéaire et déterminer une base du noyau et de l'image de $\varphi$.

Nom de l'élève : HAUTIER
Exercice(s) : Soit $$f\colon\begin{aligned}[t] \R^3&\longrightarrow \R^3\\ (x,y,z)&\longmapsto (x+y+z,x-y,2\,x+2z) \end{aligned}$$ Montrer que $f \in \mathscr L(\R^3)$ et déterminer une base de $\ker(f)$ et de $\Im(f)$. Déterminer $f(F)$ où $F = \text{Vect}\big( (1,1,1)\big)$.

Nom de l'élève : VERNIZEAU
Exercice(s) : Soient \[ H = \{(x_1 ,x_2 , \ldots ,x_n) \in \K^n \mid x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 0\} \] et $u = (1, \ldots ,1) \in \K^n$. Montrer que $H$ et $\text{Vect}(u)$ sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de $\K^n$.

Nom de l'élève : BERNARD
Exercice(s) : Soient $F = \{(x,y,z) \in \R^3 \mid x + y - z = 0\}$ et $G = \{(a - b,a + b,a - 3b)\mid a,b \in \R\}$.
  1. Montrer que $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels de $\R^3$.
  2. Déterminer une base de $F \cap G$.


Nom de l'élève : GUERINOT
Exercice(s) : Soient $F = \{f \in \mathscr C^1(\R,\R)\mid f(0) = f'(0) = 0\}$ et $G = \{x \mapsto ax + b\mid(a,b) \in \R^2\}$. Montrer que $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de $\mathscr C^1(\R,\R)$.

Nom de l'élève : SOMMET
Exercice(s) : Dans $\R^3$, on considère le sous-espace vectoriel \[ H = \{(x,y,z) \in \R^3 \mid x - 2y + 3z = 0\} \] Soient $u = (1,2,1) \text{ et } v = ( - 1,1,1)$. Montrer que $\mathscr B = (u,v)$ forme une base de $H$

Nom de l'élève : CATTE
Exercice(s) : On considère $A = \begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ et l'application : \[\begin{array}{rrcl} \varphi : &\mathscr M_2(\R) &\longrightarrow &\mathscr M_2(\R) \\ &M &\mapsto &A M \end{array}\] Montrer que $\varphi$ est une application linéaire et déterminer une base du noyau et de l'image de $\varphi$.

Nom de l'élève : LACOUR
Exercice(s) : Soit $F = \{(x,y,z) \in \R^3 \mid x + y - z = 0\}$ et $G = \{(a - b,a + b,a - 3b)\mid a,b \in \R\}$.
  1. Montrer que $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels de $\R^3$.
  2. Déterminer une base de $F \cap G$.


Nom de l'élève : CHAUMAT
Exercice(s) : Montrer qu'il existe une unique application linéaire $\varphi$ de $\R_2[X]$ dans $\R^3$ tel que $\varphi(1) = (1,1,1)$, $\varphi(1+X) = (0,1,2)$ et $\varphi(1+X+X^2) = (1,1,3)$. Déterminer une expression de $\varphi(P)$ lorsque $P$ est un polynôme de degré au plus $2$.

Nom de l'élève : GORI
Exercice(s) : Montrer qu'il existe une unique application linéaire $\varphi$ de $\R_2[X]$ dans $\R^3$ tel que $\varphi(1) = (1,1,1)$, $\varphi(1+X) = (0,1,2)$ et $\varphi(1+X+X^2) = (1,1,3)$. Déterminer une expression de $\varphi(P)$ lorsque $P$ est un polynôme de degré au plus $2$.

Nom de l'élève : PITOIS
Exercice(s) : Dans $\R^4$ on considère les vecteurs $u = (1,0,1,0),v = (0,1, - 1,0),w = (1,1,1,1),x = (0,0,1,0)$ et $y = (1,1,0, - 1)$. Soit $F = \text{Vect} (u,v,w)$ et $G = \text{Vect}(x,y)$. Quelles sont les dimensions de $F,G,F + G$ et $F \cap G$ ?

Nom de l'élève : GAILLARD
Exercice(s) : On considère \[f\colon\begin{aligned}[t] \R^3&\longrightarrow \R^3\\ (x,y,z)&\longmapsto (x+y+z,x-y,2\,x+2z) \end{aligned}\] Montrer que $f \in \mathscr L(\R^3)$ et déterminer une base de $\ker(f)$ et de $\Im(f)$. Déterminer $f(F)$ où $F = \text{Vect}\big( (1,1,1)\big)$.

Nom de l'élève : RICORDEAU
Exercice(s) : Soit $f$ un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ tel que pour tout $x \in E$, $(f(x),x)$ est une famille liée. Montrer que $f$ est une homothétie.

Nom de l'élève : MAAZOUZ
Exercice(s) : Soient $F = \{f \in \mathscr C^1(\R,\R)\mid f(0) = f'(0) = 0\}$ et $G = \{x \mapsto ax + b\mid(a,b) \in \R^2\}$. Montrer que $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de $\mathscr C^1(\R,\R)$.

Nom de l'élève : PICARD
Exercice(s) : Soient $F = \{(x,y,z) \in \R^3 \mid x + y - z = 0\}$ et $G = \{(a - b,a + b,a - 3b)\mid a,b \in \R\}$.
  1. Montrer que $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels de $\R^3$.
  2. Déterminer une base de $F \cap G$.


Nom de l'élève : KREILOS
Exercice(s) : Soient $F = \{(x,y,z) \in \R^3 \mid x + y - z = 0\}$ et $G = \{(a - b,a + b,a - 3b)\mid a,b \in \R\}$.
  1. Montrer que $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels de $\R^3$.
  2. Déterminer une base de $F \cap G$.


Nom de l'élève : SIMONNET
Exercice(s) : Dans $\R^4$ on considère les vecteurs $u = (1,0,1,0),v = (0,1, - 1,0),w = (1,1,1,1),x = (0,0,1,0)$ et $y = (1,1,0, - 1)$. Soit $F = \text{Vect} (u,v,w)$ et $G = \text{Vect} {\text{(}}x,y)$. Quelles sont les dimensions de $F,G,F + G$ et $F \cap G$ ?

Nom de l'élève : COUTURIER
Exercice(s) : Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel de dimension 3 et $e = (e_1 ,e_2 ,e_3)$ une base de $E$. On pose \[ \varepsilon_1 = e_2 + 2e_3 , \varepsilon_2 = e_3 - e_1 \text{ et } \varepsilon_3 = e_1 + 2e_2 \] Montrer que $\varepsilon = (\varepsilon_1 ,\varepsilon_2 ,\varepsilon_3)$ est une base de $E$.

Nom de l'élève : MAILLARD
Exercice(s) : Pas vraiment d'exercice.

Nom de l'élève : LACOUR
Exercice(s) : Exercice imposé.

Nom de l'élève : CHAUMAT
Exercice(s) : Exercice imposé.

Nom de l'élève : GORI
Exercice(s) : Exercice imposé.

Nom de l'élève : PITOIS
Exercice(s) : Exercice imposé.

Nom de l'élève : CLOEZ
Exercice(s) : Exercice imposé.

Nom de l'élève : GAILLARD
Exercice(s) : Exercice imposé.

Nom de l'élève : RICORDEAU
Exercice(s) : Exercice imposé.

Nom de l'élève : PILLIET
Exercice(s) : Exercice imposé.

Nom de l'élève : THEVENIN
Exercice(s) : Exercice imposé.

Nom de l'élève : CHAUMAT
Exercice(s) : t

Nom de l'élève : GORI
Exercice(s) : t

Nom de l'élève : RICORDEAU
Exercice(s) : t

Nom de l'élève : KREILOS
Exercice(s) : Déterminer le domaine de définition et de dérivabilité de la fonction \[ x \mapsto \sqrt{x^2-x^3}.\]

Nom de l'élève : LACOUR
Exercice(s) : Prolonger par continuité la fonction \[ x \mapsto \frac{\ln(1+x) - x}{x^2}\] sur $]-1,+\infty[$ puis étudier sa dérivabilité.

Nom de l'élève : VERNIZEAU
Exercice(s) : On étudie l'équation $\tan x = x$ d'inconnue $x$ réelle.
  1. Soit $n \in \N$. Montrer que cette équation possède une unique solution $x_{n}$ dans l'intervalle $I_n = ]- \pi / 2{\pi / 2}[ + n\pi$.
  2. Déterminer un équivalent de la suite $(x_{n})_{n\in\N}$ ainsi définie.
  3. Réaliser un développement asymptotique à trois termes de $x_n$.


Nom de l'élève : GUERINOT
Exercice(s) : Déterminer tous les nombres réels $a$ et $b$ pour que \[ \frac{\ln(2-x)^2}{x^2+ax+b} \underset{\longrightarrow}{x \to 1} 1.\]

Nom de l'élève : MAILLARD
Exercice(s) : Pour $\alpha = - 1 / 2$ et $k \in \N$, exprimer \[ \frac{\alpha(\alpha - 1) \ldots(\alpha - k + 1)}{k!} \] à l'aide de nombres factoriels. En déduire une expression du $DL_{2n + 1}(0)$ de $\frac{1}{\sqrt {1 - x^2}}$ puis du $DL_{2n + 2}(0)$ de $\arcsin(x)$.

Nom de l'élève : SOMMET
Exercice(s) : Déterminer les limites suivantes : \begin{enumerate}
  • $\lim_{x \to 0} \frac{1}{\sin^2 x} - \frac{1}{x^2}$
  • $\lim_{x \to 0} \frac{x^{\ln x}}{\ln x}$

    Nom de l'élève : DELOLO
    Exercice(s) : Résoudre sur $]{1},{ + \infty}[$ l'équation différentielle \[ y' - \frac{x}{x^2 - 1}y = 2x \]

    Nom de l'élève : LEOUFFRE
    Exercice(s) : Résoudre sur $\R$ l'équation \[ y'' + 4xy' + (3 + 4x^2)y = 0 \] en introduisant la fonction $z(x) = {e}^{x^2} y(x)$.

    Nom de l'élève : UNG
    Exercice(s) : Soit $a \in ]0,+\infty[$ et $f : [0,+\infty[ \longrightarrow \R$ dérivable telle que $f' + a f$ est bornée. Montrer que $f$ est bornée.

    Nom de l'élève : BLANCO
    Exercice(s) : On pose \[ u_n = \frac{1 \times 3 \times 5 \times \cdots \times(2n - 1)}{2 \times 4 \times 6 \times \cdots \times(2n)} \]
    1. Exprimer $u_n$ à l'aide de nombres factoriels.
    2. Montrer que la suite $(u_n)$ converge.


    Nom de l'élève : GERVASONI
    Exercice(s) : Etudier la suite $(u_n)$ définie par $$u_0 = a \in \mathbb{R}\quad\text{ et }\quad\forall n \in \mathbb{N}\text{,}\quad u_{n + 1} = u_n^2 $$

    Nom de l'élève : PASQUET
    Exercice(s) : \'Etudier la suite $(u_n )$ définie par \[u_0 \geqslant 1\quad\text{ et }\quad\forall n \in \mathbb{N},\quad u_{n + 1} = 1 + \ln (u_n ).\]

    Nom de l'élève : CHAUMAT
    Exercice(s) : Résoudre sur $]{1},{ + \infty}[$ l'équation différentielle \[ y' - \frac{x}{x^2 - 1}y = 2x \]

    Nom de l'élève : GORI
    Exercice(s) : On pose, pour tout $n \in \N$ : \[ I_n = \int_0^1 t^n \sqrt{1-t} \ \text{d}t.\] Montrer que pour tout $n \in \N^*$, $\displaystyle I_n = \frac{2n}{2n+3} I_{n-1}$ puis calculer \[ \int_0^1 t^2 \sqrt{1-t} \ \text{d}t.\]

    Nom de l'élève : PITOIS
    Exercice(s) : Résoudre sur $\R$ l'équation \[ y'' + y' + y = 0. \]

    Nom de l'élève : LEGRIP
    Exercice(s) : Résoudre sur $]{0},{ + \infty}[$ l'équation différentielle \[ xy''(x) + 2y'(x) - xy(x) = 0 \] en posant $y(x) = x^\alpha z(x)$ avec $\alpha \in \R$ bien choisi.

    Nom de l'élève : IGHIROUAYOUR
    Exercice(s) : Calculer \[ \int_0^\frac{\pi}{2} \frac{\text{d}t}{3+\cos(t)}\]

    Nom de l'élève : RAIS
    Exercice(s) : Déterminer les fonctions $f\colon [{0},{1}] \to \R$ dérivables telles que \[ f'(x) + f(x) = f(0) + f(1) \]

    Nom de l'élève : HAUTIER
    Exercice(s) : Calculer \[ \int_0^\frac{\pi}{2} \frac{\text{d}t}{3+\cos(t)}.\] On fera le changement de variable $y \tan\left( \frac{t}{2}\right)$.

    Nom de l'élève : MAAZOUZ
    Exercice(s) : Montrer que pour tout $p \in \N$, $p \geq 2$, \[ \int_p^{p+1} \frac{\text{d}t}{t} \leq \frac{1}{p} \leq \int_{p-1}^{p} \frac{\text{d}t}{t}.\] En déduire que pour tout $n\in\N$ : \[ u_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \geq 1+\ln(n+1) - \ln 2.\] Conclure quant à la limite de $(u_n)$.

    Nom de l'élève : PICARD
    Exercice(s) :
    1. Montrer que \[ \int_0^{\pi / 2} {\frac{\cos t}{\cos t + \sin t} \ \text{d}t} = \int_0^{\pi / 2} {\frac{\sin t}{\cos t + \sin t}} \ \text{d}t = \frac{\pi}{4} \]
    2. En déduire \[ \int_0^1 {\frac{\text{d}t}{{\sqrt {1 - t^2} + t}}} \]


    Nom de l'élève : CATTE
    Exercice(s) : On pose, pour tout $n \in \N$ : \[ I_n = \int_0^1 t^n \sqrt{1-t} \ \text{d}t.\] Montrer que pour tout $n \in \N^*$, $\displaystyle I_n = \frac{2n}{2n+3} I_{n-1}$ puis calculer \[ \int_0^1 t^2 \sqrt{1-t} \ \text{d}t.\]

    Nom de l'élève : CLOEZ
    Exercice(s) : Déterminer une primitive de \[x \mapsto \frac{1}{x^3-x}\] sur un intervalle qu'on précisera.

    Nom de l'élève : GAILLARD
    Exercice(s) : Déterminer une primitive sur $\R$ de \[ x \mapsto e^{x} \sin (2x) \cos^3 x.\]

    Nom de l'élève : KREILOS
    Exercice(s) : Montrer que \[ \forall n \in \N\setminus \{0,1\}, \quad 1 + \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{n^2} > \frac{3n}{2n + 1} \]

    Nom de l'élève : LACOUR
    Exercice(s) : Soit $(u_n)$ la suite réelle déterminée par \[ u_0 = 2,u_1 = 3 \text{ et } \forall n \in \N,u_{n + 2} = 3u_{n + 1} - 2u_n \] Montrer \[ \forall n \in \N,u_n = 2^n + 1 \]

    Nom de l'élève : VERNIZEAU
    Exercice(s) : Soit $a$, $b$ et $c$ trois réels tels que $c \ne 0$ et $a^2 + bc \ne 0$.\\ On considère la fonction $f\colon \R\setminus \{a/c\} \to \R\setminus \{a/c\}$ définie par \[ f(x) = \frac{ax + b}{cx - a}. \]
    1. Justifier que l'application $f$ est bien définie.
    2. Calculer $f \circ f$, en déduire que $f$ est une bijection dont on déterminera l'application réciproque.


    Nom de l'élève : RICORDEAU
    Exercice(s) : On se propose d'établir \[ \forall n \in \N^* , \exists(p,q) \in \N^2 , n = 2^p(2q + 1) \] en procédant de deux manières:
    1. 1ère méthode: Pour $n \in \N^*$ fixé, on pose $A = \{m \in \N \mid 2^m \mid n\}$.\\ Montrer que $A$ admet un plus grand élément $p$ et que pour celui-ci on peut écrire $n = 2^p(2q + 1)$ avec $q \in \N$.
    2. 2ème méthode: Procéder par récurrence forte sur $n \in \N^*$
    Montrer finalement qu'il existe une bijection entre $\N$ et $\N^2$.

    Nom de l'élève : PILLIET
    Exercice(s) : Soient $E$ un ensemble et $f\colon E \to E$ telle que $f \circ f \circ f = f$. Montrer que $f$ est injective si, et seulement si, $f$ est surjective.

    Nom de l'élève : THEVENIN
    Exercice(s) : Montrer que \[ \forall n \in \N^* ,1!3! \ldots(2n + 1)! \geq((n + 1)!)^{n + 1} \]

    Nom de l'élève : BERNARD
    Exercice(s) : Soit $n \in \N^*$. Déterminer une formule pour \[ S_n = 1 \times n + 2 \times (n-1) + \cdots + n \times 1.\]

    Nom de l'élève : SIMONNET
    Exercice(s) : Soit $k,p,n\in\N$ tel que $0 \leq p \leq k \leq n$.
    1. Montrer que \[ \binom{n-p}{k-p}\binom{n}{p} = \binom{n}{k} \binom{k}{p}.\]
    2. En déduire les valeurs de \[ \sum_{p=0}^k \binom{n-p}{k-p}\binom{n}{p} \quad \text{et} \quad \sum_{k=p}^n (-1)^k \binom{n}{k} \binom{k}{p}.\]


    Nom de l'élève : COUTURIER
    Exercice(s) : Montrer \[ \forall n \in \N^* ,{2n \choose n} \geq \frac{2^{2n}}{2n + 1} \]

    Nom de l'élève : BLANCO
    Exercice(s) : Soit $p,n\in\N$ avec $p\geq N$. Montrer que \[ \sum_{k=n}^p \binom{n}{k} = \binom{n+1}{p+1}.\]

    Nom de l'élève : GERVASONI
    Exercice(s) : Montrer que la suite de terme général $u_n = \displaystyle \sum_{k = 1}^n {\frac{1}{n + k}}$ est strictement croissante.

    Nom de l'élève : PASQUET
    Exercice(s) : Soit $n \in \N^*$. On désire calculer le produit $P(x) = \prod_{0 \leq k \leq n} {\cos(2^k x)}$ pour tout $x \in \R$.
    1. Commencer par traiter le cas $x \equiv 0\quad \left[\pi \right]$.
    2. Pour $x \ne 0\quad \left[\pi \right]$, simplifier $\sin(x)P(x)$ et exprimer $P(x)$.


    Nom de l'élève : GUERINOT
    Exercice(s) : Résoudre l'équation d'inconnue $x \in \C$ : \[ \big( x^2 + 5x + 1 \big)^2 + \big( 3x+2 \big)^2 = 0.\]

    Nom de l'élève : MAILLARD
    Exercice(s) : Montrer que pour tout $n \in \N^*$, \[ \sum_{k=0}^n k! \leq (n+1)!.\]

    Nom de l'élève : SOMMET
    Exercice(s) : Soit $n \in \N^*$. Déterminer une formule pour \[ 1\times n + 2 \times (n-1) + \cdots + n \times 1.\]

    Nom de l'élève : LEGRIP
    Exercice(s) : Soit $n \in \N$, $n \geq 3$. On note $\omega_1,\dots,\omega_n$, les racines $n$-ièmes de l'unité où $\omega_n = 1$.
    1. Déterminer, pour tout $p\in\N^*$, $\displaystyle \sum_{k=1}^n \omega_i^p$.
    2. Déterminer, avec la question précédente, \[ \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{1-\omega_i}.\]


    Nom de l'élève : IGHIROUAYOUR
    Exercice(s) : Soit $P$ un polynôme à coefficients dans $\C$.
    1. On suppose que $P$ est de degré $2$ et possède deux racines distinctes $a$ et $b$. Montrer que l'unique racine de $P'$ est laffixe d'un point du segment $[A,B]$ où $A$, $B$ ont pour affixes respectifs $a$, $b$.
    2. On suppose que $P$ est de degré $3$ et possède trois racines distinctes $a$, $b$, $c$. Montrer que les racines de $P'$ sont les affixes de points à l'intérieur du triangle $ABC$ où $A$, $B$, $C$ ont pour affixes respectifs $a$, $b$, $c$.


    Nom de l'élève : RAIS
    Exercice(s) : Soit $n \in \N^*$ et $\theta \in \R$. Déterminer les solutions de l'équation d'inconnue $z \in \C$ : \[ z^{2n} -2 \cos(\theta) z^n + 1 = 0.\]

    Nom de l'élève : HAUTIER
    Exercice(s) : Résoudre l'équation d'inconnue $z \in \C$, \[ z^3 = \overline{z}.\]

    Nom de l'élève : MAAZOUZ
    Exercice(s) : Soit $z \in \C$. Déterminer la limite, si elle existe, de \[\left(1+\frac{z}{n}\right)^n\] lorsque $n$ tend vers $+\infty$.

    Nom de l'élève : PICARD
    Exercice(s) : Montrer que pour tout $z \in \C \setminus \R^-$, \[ \left(\frac{z + \vert z \vert}{\sqrt{2 \Re(z)+ 2 \vert z \vert}}\right)^2 = z.\]

    Nom de l'élève : LEOUFFRE
    Exercice(s) : Déterminer les solutions du système d'inconnues $x,y \in \C$ : \[ \left\{ \begin{array}{lcr} x + y &=& 1+i\\ xy &=& 2-i \end{array} \right.\]

    Nom de l'élève : UNG
    Exercice(s) : Soit $a,b,c \in R$ tel que $e^a + e^b + e^c = 0$. Montrer que \[e^{2a} + e^{2b} + e^{2c} = 0.\]

    Nom de l'élève : KREILOS
    Exercice(s) : \'Etudier (domaine de définition, dérivabilité, variations, limites) la fonction \[x \mapsto \sqrt{\tan x}\] et montrer qu'elle réalise une bijection $f$ de $[0,\pi/2[$ sur un ensemble qu'on déterminera. Exprimer $f^{-1}$.

    Nom de l'élève : LACOUR
    Exercice(s) : Déterminer, en fonction de $a,b\in\R$, le module et un argument de : \[e^{i\,a} - e^{i\,b}.\]

    Nom de l'élève : VERNIZEAU
    Exercice(s) : Résoudre l'équation d'inconnue $x \in \R$, \[ \arcsin x + \arcsin \left( \frac{x}{2}\right) = \frac{\pi}{2}.\]

    Nom de l'élève : CHAUMAT
    Exercice(s) : Déterminer l'ensemble des complexes $z \in \C$ tel que \[ z + \overline{z} = \vert z \vert.\]

    Nom de l'élève : GORI
    Exercice(s) : Montrer que pour tout $x \in [0,+\infty[$, \[ \arctan(\sh x) = \arccos\left( \frac{1}{\ch x}\right).\]

    Nom de l'élève : PITOIS
    Exercice(s) : Pour quels entiers $n \in \N$, $(1+i)^n + (1-i)^n = 0$ ?

    Nom de l'élève : BERNARD
    Exercice(s) : Résoudre l'inéquation d'inconnue $x \in \R$ : \[ \ln\vert x+1\vert - \ln\vert 2x+1\vert \leq \ln 2.\]

    Nom de l'élève : SIMONNET
    Exercice(s) : \'Etudier puis simplifier la fonction \[ x \mapsto \arcsin\left( \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}\right).\]

    Nom de l'élève : COUTURIER
    Exercice(s) : Soit $a,b \in ]0,+\infty[$ tel que $a < b$. \'Etudier la fonction \[ \varphi : x \mapsto \frac{\ln(1+ax)}{\ln(1+bx)}\] sur $]0,+\infty[$.

    Nom de l'élève : CATTE
    Exercice(s) : Simplifier la fonction \[ x \mapsto \arcsin\left( \sqrt{\frac{1 + \sin x}{2}}\right).\]

    Nom de l'élève : CLOEZ
    Exercice(s) : Montrer que pour pour tout $x \in ]-1,1[$, \[ \vert \arcsin(x) \vert \leq \frac{\vert x \vert}{\sqrt{1 - x^2}}.\]

    Nom de l'élève : GAILLARD
    Exercice(s) : Représenter la fonction \[x \mapsto \arccos\big(\cos(3\,x)\big).\]

    Nom de l'élève : GUERINOT
    Exercice(s) : Résoudre l'équation d'inconnue $x \in \R$ : \[ e^x +e^{1-x} = e + 1.\]

    Nom de l'élève : MAILLARD
    Exercice(s) : Montrer que, pour tout $n \in \N$, pour tout $x \in \R^+$, \[ e^x \geq 1 +x + \frac{x^2}{2} + \cdots + \frac{x^n}{n!}\] où $n! = 1 \times 2 \times \cdots \times n$.

    Nom de l'élève : SOMMET
    Exercice(s) : \'Etudier la fonction \[ x \mapsto \left( 1 + \frac{1}{x}\right)^x.\]

    Nom de l'élève : RICORDEAU
    Exercice(s) : Montrer que pour tout $x \in ]0,1[$, \[x^x (1-x)^{1-x} \geq \frac{1}{2}.\]

    Nom de l'élève : PILLIET
    Exercice(s) : Montrer que, pour tout $x \in ]0,+\infty[$, \[ x - \frac{x^2}{2} < \ln(x+1) < x.\] En déduire la limite, lorsque $n$ tend vers $+\infty$ de \[ \left( 1 + \frac{1}{n^2}\right)\left( 1 + \frac{2}{n^2}\right) \times \cdots \times \left( 1 + \frac{n}{n^2}\right).\]

    Nom de l'élève : THEVENIN
    Exercice(s) : Soit $m\in\R$. Résoudre l'équation d'inconnue $x \in \R$ : \[ e^{2x} - 4me^x +2(m+1) = 0.\]

    Nom de l'élève : DELOLO
    Exercice(s) : Combien le polynôme $X^5 -80X +7$ a-t-il de racines réelles ?

    Nom de l'élève : LEOUFFRE
    Exercice(s) : Faire une étude complète de la fonction \[ f : x \mapsto \frac{e^x - 1}{e^x +1}\]

    Nom de l'élève : UNG
    Exercice(s) : Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ dérivable deux fois tel que $f'' < 0$. Montrer que la courbe de $f$ est en-dessous de n'importe laquelle de ses tangentes.

    Nom de l'élève : BLANCO
    Exercice(s) : Montrer que pour tout $x \in \R^+$, \[ x- \frac{x^2}{2} \leq \ln(1+x) \leq x.\]

    Nom de l'élève : GERVASONI
    Exercice(s) : Montrer que, pour tout $x \in \R$, \[ \sqrt{x^2 +(x-1)^2} + \sqrt{x^2 +(x+1)^2} \geq 2. \]

    Nom de l'élève : PASQUET
    Exercice(s) : \'Etudier la fonction \[ f : x \mapsto \ln(x^2 + \sqrt{x^2-1}).\]